数学方程中的元次是谁创造的(复数的产生)
数学方程中的元次是谁创造的文章列表:
- 1、复数的产生
- 2、金庸、二月河相继去世 两人曾与深圳同台对话
- 3、欧拉公式—宇宙第一公式，几乎蕴含所有数学元素，开创了新的时代
- 4、爱因斯坦：我如何用17年创立相对论，杨振宁评：巅峰创造力撞击物理危机
- 5、数学是发明还是发现的？
复数的产生
形如的形式在数学中被定义为复数，其中为虚数单位，、为任意实数。
要说复数的产生，先从数的演变史开始说起。
最初，人们从自然界中启发，得到了数字1、2、3……，当然还有0，这就是自然数，来源人们对现实世界的认知。
接着，如果1个馒头要均分给5个人，要怎么分，每人分多少呢？1段树枝被折成相等的2半，那一半是多少，怎么表示呢？人类为了知识的记录和文化的传播，一切从简，就发明了分数，当然也可以写成小数的形式：
=0.2，=0.5，=0.6等等。
到目前为止，来自于人们对现实世界的直观总结所建立的数字表达，它有明显的可参照对象、有轨迹可循、看得见、摸得着、想得到，人们后来就认为这些都是理所当然的，所以就叫它们为有理数。即所有可以表示为分数形式的数都叫有理数，当然自然数也可以表示为分数=0，=1，=3，=2，=5……。
随着人类文化的不断迭代发展，数学运算和数学表示在不断的丰富，除了 法、-法，根据类似2 2 2（3个2相加）难道就不能表示为更简单的形式么？3x2，于是乘法诞生，因为对于3 3 3 3 3 3 3 3这样的繁琐的运算，可以用更简单的表示8x3，so easy！
文化再次不停地迭代，5x5=25，3x3=9，2x2=4，是否完全可以再简单地表达？人类总是向着大道至简的目标前进，于是5x5==25，2x2==4……，有了平方数。
人类文化在迭代中不断地向前狂奔，有些人就脑洞大开了，不对呀！4是2的平方，9是3的平方，16是4的平方，妈呀！也就是说1的平方是1，0的平方是0，那么在平方结果中，只有0、1、4、9、16、25……会出现，那中间是不是少了很多数啊，谁的平方是2呢？又谁的平方是3呢？谁的平方是5？……连续自然数平方的结果并不是连续的自然数！
好吧，既然谁也不知道？那就给它个定义吧，难道还有数学不能描述的世界吗？数学就是为大世界服务的，必须补上这个漏洞，好嘞，的平方就是2，它表示=2，类似的=3，甚至还有=5等等。
突然感觉不好把握了，那么既然已经定义并存在了，它到底是多少啊？因为1的平方是1，2的平方是4，的平方是2，所以肯定比2小，也肯定比1大，但是能具体和其他数比较一下吗？至少知道大概是多少吧？突然发现，这已超出当时人类的脑洞了，不好理解了。
毕达哥拉斯（约公元前580至公元前500）是古希腊的大数学家。他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。
为了理解，为了客观形象地认识它，就让现实世界来描述它，在几何学中，边长为1个单位的正方形，其面积很好算，比如边长为1米的正方形土地面积为1x1=1平方米，那么它的对角线是多少？根据勾股定理，设对角线长为，那么 =,即=1 1=2,好了，=，对，那个对角线的长度就是你们要找的的大小。
但是，究竟比1或者2或者任何其他整数大多少，能给一个大小比例吗？就像=0.6一样。
毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个像往常一样讲道理的数，它不是正常数），它真的没有办法用分数来表示，可是它确实存在啊！这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该发现的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，还是遇到了毕达哥拉斯学派的门徒，在一条海船上被残忍地投入了水中杀害。
没天理啊，没有道理啊！于是一个没有道理的数（无理数）就这样出现在了数学领域中。欧几里得（约公元前330年至公元前275年）《几何原本》中就提出了一种证明是无理数的经典方法。圆周率、以及后来发现的自然常数= ……等等都是无理数。
“万物皆为数”如果继续有用，那么就得让数域继续膨胀，于是把无理数拉进队伍里！有理数和无理数合在一起被称为实数，为什么叫作实数，这是因为和虚数相对应的，有实就有虚，好了，就引出来今天的主角，虚数！
如果说实数是来源于对自然界数量的刻画（英文中标量、也叫纯量scalar,就是刻画的意思），有理数是来源于对比列的刻画，无理数是来源于对某种长度的刻画，那么，虚数就是人为制造的，是在现实生活中完全找不到实际相应背景的，它用英文单词imaginary来表示，imaginary的英文原意即为虚构的、想象的、假象的，简写为。
为什么非要假想一个这样实际不存在的数呢？因为在当时的数学公理体系中，时常有以下这样的现象发生。
对于1元2次方程=1的解是1和-1，如果是=-1呢？它有解吗？
数学从某种程度上来说，应该是对称的、完美的、无所不包的、没有漏洞的，我不能无视=-1，好吧，当然我们也可以回避它，在数学史上，大家就是这么做的，“我为什么要解决这个问题？”，对于此类问题很长时间都没有需要解决的紧迫性。
一个正数乘一个正数为正数，一个负数乘一个负数也是正数，因此，一个数自乘之后必然为正数，不管这个数是正数还是负数。也正因为如此，古希腊学者丢番图虽然知道1元2次方程有2个根，但其中有一个为虚数时，他宁可认为这个方程是不可解的。一直到16世纪，数学家们都普遍认可丢番图这种处理虚数的办法，“我们就是无视它！”。
事情的转机是这样的，人类不仅仅满足于求2次方程。
16世纪意大利米兰学者卡当（1501至1576）在1545年发表的《大术》一书中，公布了3次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”，由它奠基了3次方程解的通用公式。
对于3次方程 p q = 0的其中一个解为：
=
比如：- 15- 4 = 0
就会得到= ，对于的出现，按照传统的认识，我们肯定会一脸懵逼，按照以前的定论，这个方程就该无解了，一出现负数开平方，就像=-1这样，我们会认为是没有结果的，这一页会被翻过去的。但是如果你把4带入-15- 4 = 0，你会发现它是有解的，而且该方程通用解法的另外两个解公式，也会出现。是公式错了吗？也不是啊，当没有出现负数开方的时候，依靠公式计算的结果就是正确的啊！
好吧，那么就让我们暂且勇敢一点，认为是没有错误的，因为=121，我们暂且可以认为=11，
因为，按照运算规则得到的=2 11，
所以得到= =2 2-=4，嗯嗯，结果很正确。是的，虽然在运算途中出现了，但在结果里它没有出现，而且我们得到了正确的结果。诸如类似这种负数开方在很多数学运算中都会出现，如果你允许它的存在，继续计算下去，它不但不影响结果的正确性，而且它有助于得到正确的结果，它已成为诸多数学运算得到正确结果的有效桥梁，说明它很科学，它的存在很有必要。
既然它是必要的，我们为什么就不承认它呢，好吧，我们就认为=，它是1个虚数单位，并且规定= -1,= 1,= -1,但是它实在不是我们现实世界中的所见即所得，所以就给它起了个名字“虚数”，纯粹虚构的数。
每次数域领地扩大的时候，都会冲击着某些人的灵魂， “虚数”这个名字本身就代表着最初的偏见。16、17世纪欧洲大多数数学家都不承认负数是数，帕斯卡（法国数学家1623至1662）认为从0减去4是纯粹的胡扯，还有毕达哥拉斯学派把发现无理数的希伯索斯扔到海里一样，虚数的出现还是引起了数学界的一片困惑，当时很多大数学家都不承认虚数，莱布尼茨（德国数学家1646至1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。1633年，笛卡尔（法国数学家1596至1650）正式给出了“虚数”的称谓，不过他并不承认虚数的存在。牛顿也是如此，他认为虚数并不能够在他的物理世界中得到意义，所以拒不承认虚数的存在。欧拉（瑞士数学家1707至1783）在《代数指南》中说“所有如、、、之类的表达式，皆不可能，或者说为虚数……而在这类数中，我们可以真正地断言，它们既非零，非大于零，亦非小于零，这必然使它们成为虚幻的或不可能的”。
好吧，我们来正式地梳理一下“虚数“的成长史：
拉斐尔.邦贝利（意大利数学家1526至1572）在1572年发表的《代数学》中总结整理了卡当《大术》中的发现，提出负数的平方根很有可能是一种全新类型的数字，他称之为“复杂的数”，而且他还详细的介绍了“复杂的数”计算规则。
法国数学家笛卡尔1637年在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
棣莫弗（法国数学家1667至1754）在1722年发现了著名的和虚数运算有关的棣莫弗定理。
达朗贝尔（法国数学家1717至1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（、都是实数）
欧拉在1777年《微分公式》第一次使用符号来表示。
威塞尔（挪威测量学家1745至1818）在1797年试图给予这种虚数以直观的几何解释，然而没有得到学术界的重视。
阿尔冈（德国数学家1777至1855）在1806年公布了虚数的图象表示法。
即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一条数轴来表示，但是两个数轴是无关的，在数学的平面上，无关的维度最直观的表达就是正交，即把实轴和虚轴正交，横轴上取全部的实数的点，纵轴上取全部虚数的点，那么平面上的其他点，就是表示那个数既含有实也含有虚的，这下用一个平面就包含了所有的数系。
高斯在1831年，用实数组（，）代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”。也是他在1832年第一次提出了“复数”这个名词。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。
1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一篇备忘录，奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名。
至此，复数理论比较完整和系统地建立起来。
这个大厦就是复数体系，英文为complex number, complex就是复杂的、复合的意思，复数就是复合了实数和虚数的复杂数系，因此可以表示为，是实部，是虚部，和的大小分别是对实部和虚部大小的刻画，当为0时，那就是在实数域裸奔，当为0时，那就是在虚数域飞翔，所以有实轴和虚轴的平面也可以称为复平面，任何一个复数也可以表示为有序实数对，它们分别表示一个复数在实、虚两个维度的大小。
与纯粹的实数不同，在复数集合中有可能不存在大小关系，也就是说两个复数之间也许不能比较大小。任何量的大小比较都是在1个维度限定下进行的，当超越1个维度时，量的传统大小比较将毫无意义。回想我们最初的定义：数字是那些能够由小到大进行排列的符号，在这个意义上，复数确实不是数字。这并不意外，在它的定义平面上，它们还有自己的方向属性，这也使数变得越来越抽象了。但是，复数集合是强大的，它包含实数集合，因为只需要在复数中令虚数前面的系数为0就可以了。
复数的存在，保证了n次方程根的完备性，只要允许“真根”（正实根）、“假根”（负实根）和“虚根”（复数根）存在，n次方程将有n个根，一个方程解的数量与它的次数相同，这是”代数基本定理“。
欧拉和高斯用复数来解决代数和数论。
哈密顿（爱尔兰数学家1805至1865）用复数来研究物理，并根据复数发明四元数理论。
柯西和高斯设计了适用于复数的微积分，被证明非常强大。
法国数学家雅克.哈达玛说：“实数领域中两个事实之间的最短路径经由复数领域“
下面就是数的进化史，不断有新数被编进队伍，数也越来越抽象，但也越来越强大。
金庸、二月河相继去世 两人曾与深圳同台对话
2018年12月15日凌晨，二月河先生在北京病逝，享年73岁，说到二月河，可能认识他的人不如金庸老先生那么多，但是也是个响当当的人物。其笔下五百万字的“帝王系列”：《康熙大帝》《雍正皇帝》《乾隆皇帝》三部作品，也是无人不知无人不晓的。
同样身为作家，他和金庸老先生也有着不解之缘，二月河也算是金庸老先生的铁杆粉丝了。在2005年12月16日，深圳在全国率先开展全民读书月活动，邀请金庸二月河参加，在节目中两位先生也是相谈甚欢。二月河先生很喜欢金庸先生的作品，但也有不喜欢的人物，他这样说道：我就是不喜欢金庸先生《鹿鼎记》的韦小宝这个人物，他就是一个小流氓嘛！当然了金庸先生也很欣赏二月河先生的作品。而现在，两位具有影响力的人物都相继去世，两人同台的场面不多，两个经典人物共同存在的画面，成了粉丝们珍贵的纪念。
在历史的天空下——“历史·小说·人生”金庸与二月河对话深圳
【金庸简介】
金庸，原名查良镛，１９２４年生于浙江海宁。早年在香港《大公报》、《新晚报》和长城电影公司任职。后创办香港《明报》、新加坡《新明日报》和马来西亚《新明日报》等，形成《明报》集团公司。
查良镛先生五十年代中期起应报社之约，开始写作连载性的武侠小说。到七十年代初写完《鹿鼎记》而封笔，共完成了十五部，其中包括《书剑恩仇录》、《射雕英雄传》、《神雕侠侣》、《雪山飞狐》、《倚天屠龙记》、《天龙八部》、《鹿鼎记》。他曾用其中十四部书名的第一个字串在一起，编成“飞雪连天射白鹿，笑书神侠倚碧鸳”的对联。他的小说既继承了传统白话小说的语言风格，又对旧式武侠小说从思想内容到艺术手法作了全面的革新。这些作品以古代生活为题材，却体现出现代精神，同时富有深厚的文化内涵，因而赢得亿万读者的喜爱，达到雅俗共赏的境界。
金庸不仅是杰出的小说大师，同时又是一位出色的社评家。他写有近两万篇社评、短评，切中时弊，笔锋雄健犀利，产生了很大影响，曾被人赞誉为“亚洲第一社评家”。
【二月河简介】
二月河，本名凌解放，著名历史小说作家，中国作家协会会员。汉族，１９４５年生于山西省昔阳县。高中毕业后入伍，由战士而及副指导员，１９７８年转业南阳市委，现任河南省作协副主席、中国《红楼梦》学会河南理事，南阳市文联主席。二月河４０岁开始文学创作，致力于营建“帝王系列”。以描述清代皇帝康熙、雍正、乾隆的三部长篇历史小说名闻天下，《雍正皇帝》问世后曾荣获河南省政府文学大奖，并被改编成电视连续剧，改编后的电视剧轰动海内外，创下收视高峰，足见历史题材的优秀作品有其不可抗拒的魅力。
《雍正皇帝》包括《九王夺嫡》、《雕弓天狼》、《恨水东逝》三部，共１４０万字。全书由长江文艺出版社出版后，又由香港明窗出版社、台湾巴比伦出版社相继推出中文繁体字本。
一个文心见胆，写尽古今侠义儿女英雄事，一个纵横历史，刻画清代帝王人生三部曲，金庸、二月河中国南北文坛二位大侠相聚深圳、握手对话。
主持人：金庸先生和二月河先生被誉为当今文坛的南北两位大侠，我的第一个问题是两位这次是不是第一次见面呢？
二月河：是。
金庸：第一次见面。
主持人：此前两位其实已经是相互仰慕已久。
金庸：我仰慕他。
二月河：神交已久。
主持人：一位说仰慕已久，一位说神交已久。请问二月河先生，您最喜欢金庸先生作品中的哪一部呢？
二月河：金庸所有的作品我都喜欢，但是我更喜欢《神雕侠侣》。
主持人：二月河先生最喜欢金庸先生的作品是《神雕侠侣》。我想再追问一句，您最喜欢金庸先生作品中的人物是谁？
二月河：黄药师吧。
主持人：同样的问题我想问一下金庸先生，您最喜欢二月河作品中的是哪一部？
金庸：《康熙三部曲》我都喜欢。
主持人：有没有最喜欢的？
金庸：《雍正皇帝》那一部。写得最好。
主持人：您最喜欢他的作品中的人物是谁呢？
金庸：雍正皇帝。
主持人：我想问一下二月河先生，您曾经在一些场合这样表达过，您说金庸先生的作品前１００年无人能及，后１００年也不可能出现与之相提并论的作品，您说这是有根据的。这个根据是什么？
二月河：前１００年没有出现金庸，再过１００年上帝也不可能再赐我们一个金庸。这是一种机遇，是天、人、地互相感应，才能出这样的作品、这样的人。
中国最早的武侠小说可以推远到《史记》的《游侠列传》，到《唐人传奇》出现了红线女这样一些带有武侠特色的传说，这是一个变局，经过了多个百年。又经过了多少个百年我们才出现了《三侠五义》、《七侠五义》、《江湖奇侠传》、《儿女英雄传》这类的书。又是一个几百年的空档，才出现了金庸、古龙、卧龙生，当然以金庸先生为领军人物、是旗帜，他是首发难者、始作俑者，创造出了一批新武侠小说，我们怎么可能指望在１００年内再出一个金庸？文学上的突破是很不容易的。从我们中国其他小说里也可以得出这个推论：《红楼梦》到现在也是３００多年了，哪有出现一部新的小说能够和《红楼梦》相媲美？《金瓶梅》、《红楼梦》到现在我们仍然没有突破。我们不可能指望文学上的突破，像数学或者物理，今天一个成就、明天一个成就。那是经过多少人、多少代的人文观念、思想理论才能突破。所以我讲１００年前我们没有金庸，再往后拖１００年我们也别指望马上再出一个金庸。
金庸：谢谢他给我很高的评价。
二月河：我说的是实事求是、说的是理论。
金庸：我当时看凌先生的小说的时候，我有个感觉，我觉得这一位不知道是古人还是现代的人，如果是现代的人我很想和他交个朋友。后来终于见到他，我很高兴，跟他谈话觉得他很直爽，很正气。我愿意跟他交朋友，我很高兴。
二月河：谢谢！谢谢！
主持人：我想问一下金庸先生，您觉得二月河作品中最吸引您的是哪些地方？
金庸：我看小说比较受感动的是《雍正皇帝》这部分，本来中国写雍正皇帝的小说很多，但都是把他作为反派的角色来写，凌先生第一次把雍正皇帝作一个正面人物来写，而且历史上也是有根据的。他加上自己的想像使大家对雍正的处境很同情。虽然也有不同意的地方，但是作为活生生的一个人，在小说中描写得很真实的一个人，我觉得很不容易。
主持人：而且我还注意到您特别赞赏二月河作品中对于历史细节的把握，是这样吗？
金庸：对，凌先生对历史事实把握得很好。我所了解的，他对清朝历史读得很多，各式各样的，除了正史之外，还有各种野史、各种传说。所以他对雍正这个人物的写法不但有自己的创造、自己的想象，基本上也不违背历史的大势。而且我觉得特别有意义的是，雍正对历史上许多康熙传下来或者清朝、明朝传下来的一些腐败的情况，都有一些改动，反对贪污腐化，这对现代社会有一种针砭的作用。
主持人：是有历史借鉴意义的。
金庸：对。而且他不是自己故意捏造的，事实上是有历史根据的，对每一个人有一个借鉴的作用。
主持人：其实我们从不同的角度都可以体会到二月河先生对于历史细节的把握，我这里有一个小问题想问二月河先生。如果有一个秀才从深圳出发要去北京赶考，在雍正时期他大概在路上要走多长时间？
二月河：两个多月。
主持人：他的主要交通工具是什么？
二月河：走路。
主持人：他在路上的吃和住怎么解决？
二月河：我们现在在电视剧里可以看到，当时的人住饭店，有床铺、有铺盖、有洗脸水给你打上来，还有人做饭给你吃。这是按照我们今天的星级宾馆去设计当时的情形，实际上是需要自己带行李、自己带伙食，这样走路去。电视里看到历史人物带上银子到饭店吃饭，把一锭银子往桌子上一放，就叫打酒来，因为他不知道当时三两银子可以盖三间房子。
主持人：三两银子盖三间房子？
二月河：对！这样花钱是不行的。你们见过他们找钱没有？没有。因为从电视剧的编剧、导演到演员都不知道银子怎么找法。所以说就没有见过找钱。给钱找钱现在很正常。还有就是银子的含银量不一样的。３０％的银子到９９．９７％这样的纯银，一个店铺伙计拿到手里，他要凭自己的肉眼（没有仪器），马上能够识别出来银子的含银量是多少，你住店花多少钱，他该找你多少钱，这是应该马上识别的。如果这样的细节把握不好，别说是写康熙、写雍正，就是写一个店铺伙计也是写不出来的。
主持人：恕我直言，我觉得郭靖和黄蓉在进行国内旅行的时候好像也没有带行李？
二月河：我说过这么一句话，查先生是天才。天才是不考虑这些，小事情他不考虑。桃花岛上的人凭什么收入，谁给他发工资，金庸先生没有告诉我们，但是我们读得有滋有味，这就行了。小说的功能是让人有感受的感觉、受知的感觉，小说有着告诉的功能、娱乐的功能，当然还有暴露的功能、歌颂的功能。金庸先生把诸多的功能交给了我们，我们在读这些书的时候能够感受到金庸先生在告诉我们什么东西，这就够了，所以不需要去讲黄蓉是怎么走那么远路，谁给她发工资，谁给她路费。张无忌在蝴蝶谷里来回蹿，走路需要路费，看病也需要掏钱，查先生统统不讲。他不跟读者说这些，他跟读者说的是他想要告诉你什么，他能把读者抓住、吸引住，这就是了不得的功能。这种功能是爹妈给的，是天才，是谁也给不了的。我在几所大学里讲学曾经讲过，作家没有什么秘诀可言，如果有秘诀的话我的女儿早就是作家了。这种素质真正是天生下来的，本生所具有的。
金庸：实际上天才就是乱七八糟的。
二月河：金庸先生能够把很多基督教的精神里美的东西、伊斯兰教里美的东西、波斯国的包括中国的儒释道，各种人文观念里美学的东西都通过武侠题材的风格调动了出来，然后用各式各样的方式保卫这种美，让人们在读书的过程当中得到美的享受。
金庸：凌先生写小说写得很具体。像年羹尧培养一个专制，自己也有钱，但他要打垮八王子，年羹尧带兵去把他杀掉，写得很具体。一方面惊心动魄，一方面也很真实，所以我很感兴趣。
主持人：我们刚才听了两位对于对方各自作品的一些评价。这次知道金庸先生、二月河先生来到深圳，我们也专门对市民作了一些采访，想听听他们对两位有些什么问题。我们一起来看一下大屏幕。
大屏幕：想听听他们两位对中国清朝的探讨，怎样看待中国从鼎盛的王朝走向衰弱的内在原因。
二月河：清代的盛世从乾隆年间开始走向衰败的，正确的说应该是以乾隆４０年为划定界限，乾隆４０年达到顶峰（１７７５年），就像是向上一个抛物线到顶点以后一直往下落。因为当时有人才方面的原因、有生产力发展方面的原因，中国历史上闭关自守、自给自足的自然经济对我们国家的限制太厉害了。本来我们是有机会的，康熙皇帝曾经开过２０年的海禁。康熙是中国的潘朵拉，是希腊神话里面的潘朵拉女神，他打开了匣子以后，从匣子里面飞出去战争、饥饿、灾荒、瘟疫诸如此类的东西，他吓坏了，赶快把这个盒子扣住，把以后的希望和光明也扣住了。康熙开海禁，当时设了粤、闽、滇、浙四省海关总督，我们在《红楼梦》里可以看到王熙凤的娘家就是海关总督。如果海禁政策能够持续下去，我们中国的工业革命如果能与西方的工业革命大致接轨，我们今天的中国是什么样子，很难设想。以后的鸦片战争以及后面的屈辱史会不会发生，都是问题。所以我把这套书定名为《落霞系列》，是说：一方面我们中国的文化是辉煌灿烂的、是璀璨的、是非常漂亮的，这是一个特点；另外我们中国文化当时也有一些很致命的弱点，有他的劣根性。鸦片战争以后中国东方的文明与西方的文明实现了一场大碰撞，大碰撞以后中国的文明被碰得粉碎，中国变成了一个殖民地、半殖民地国家，黑暗了这么多年，我想康熙、雍正和乾隆三代皇帝他们应当负一定的历史责任，我是这样看的。具体的原因应该由历史学家和政治学家进行更深入的探讨，我总的感觉是中国的历史发展趋势造成了当时衰败的必然趋势。
主持人：这是二月河先生的看法，我想问一下金庸先生的看法。
金庸：我看中国的衰弱不是从清朝开始，明朝嘉靖万历年间中国与西方对比，中国已经慢慢衰退了。当时西方国家在各方面，比如物质文明、精神文明都不及中国，那时候我们闭关自守。西方经过工业革命、宗教改革，一直向上发展，我们闭关自守、不接受外面的科学文明，慢慢落后。明朝开始，我们已经慢慢差下去。我们中国历来是很强大，外国人不敢碰我们，那时候他们不知道对比已经差下去了，以为我们中国还是很强大，外国人没有来碰。到乾隆、嘉庆、道光年间鸦片战争开始，双方一碰，我们明显比他们差了。道光年间很明显看到外国在工业革命，他们科学发展，我们还在讲八股、讲科举。
主持人：接下来，我们来看市民提出的第二个问题，请看大屏幕。
大屏幕：请问两位大师，我想问一个问题比较共同的，他们这么丰富的创作，他们读了哪些书对他们有影响，他们的知识积累是靠哪些书？
金庸：凌先生清朝的历史知识很丰富，我很佩服他。但是你说我丰富的历史知识，我觉得不够，所以还得再去读书，丰富的历史知识完全谈不上。我只能说，我不是无所不知，只是说我写出来的我知道，如果不知道我去查书，查不到就不写进去，避开它。不懂的时候马上去学，就学得比较快一些。
主持人：您到现在仍然是一个好学生。
金庸：我去念书，老师也觉得我这个人学习能力还强，年纪虽然大了，但是跟年轻朋友学习的进度也差不多。
主持人：有一个报道说金庸先生今年６月份进入剑桥大学攻读博士学位？
金庸：是啊，现在剑桥大学规定念博士之前一定要有硕士学位，我大学毕业证书也没有，硕士证书也没有，剑桥大学来了一个通融，你先念硕士，拿到硕士学位再念博士学位，现在我在念硕士学位。现在正是剑桥大学放假的时候，才让我回来的。
主持人：我明白了，您现在是放寒假。
金庸：圣诞假期。
主持人：您的专业是什么？
金庸：我大学念国际法，现在在剑桥大学念历史。
主持人：您的导师对您的学习评价如何？
金庸：他觉得我中文程度比一般英国人要高。我中文比他们高一点都不稀奇，英文还需要学一点。
主持人：关于您的学习我还有一个小问题想问一下，您的同班同学他们的平均年龄是多少？
金庸：大概都二十几岁吧。
主持人：二十几岁。活到老，学到老。
主持人：我现在想请教一下二月河先生，您丰富的历史知识的储备，是从哪里来的？
二月河：我觉得我的历史知识也不是很丰沛，读一遍二十四史是不是能够说明你历史方面的知识知道得很多？也不能这样说。我感觉我读书比较杂，在文革期间中国一片文化荒漠，我在部队里面躲着，那时刚好手抄本读得比较多，比如像《第二次握手》、《梅花档案》、《一双绣花鞋》这一类的书，还有拆骨的、算命的、刘庄相术、麻衣相术、奇门遁甲等。在当时没有书读，拿到手里反正没有事，就算看不进去，过一段时间还得拿起来再看看，这样积累了一些知识，后来写小说的时候都用上了。要写好一个算命先生、写好一个要饭的、写卖人怎么卖、看牙、看头发、驱鬼念符等，这些在当时的手抄本里都可以看到。
主持人：您都会？
二月河：我不会，但是在写小说的时候能够蒙人。
主持人：二月河先生所有的作品都是以清朝作为背景，而金庸先生有１５部作品，其中有６部作品是以清朝历史为背景，我的问题是为什么两位对于清朝的历史这么感兴趣，愿意选择清朝作为自己小说的背景？
金庸：小说越远的越难写。秦朝、汉朝的人怎么坐、怎么吃饭我就不大清楚了。清朝的生活习惯跟我们相差不远，吃甜的、吃咸的、喝茶和现在都差不多。宋朝的人喝茶还要磨成粉末，还要加点芝麻、花生米，用开水来冲，我们现在喝茶不是这样的喝法，所以写宋朝、唐朝的事情就比较困难。
主持人：同样的问题我想问一下二月河先生，为什么您对清朝的历史这么感兴趣。我们知道南阳是一座有几千年历史的老城，历史上有很多的故事发生。
二月河：今天跟金庸老师一起，也探讨过这个问题，他说你为什么不写光武皇帝？汉光皇帝就住在南阳，云台二十八将也住在南阳。实际上这个问题刚才金庸老师说过了，汉代离我们太远。他们那些人为什么生气、为什么高兴、怎么会流泪、为什么会悲伤、他的爱情是怎样的？你现在根本就不知道。他们那种喜怒哀乐的文化背景和清代的背景已经有了很大的变化，我们今天掌握不了汉代人的人文景观和他们这种理性的概念，把握不住，找不到感觉的话，作家应当赶快罢手。但是清代离我们比较近，而且清代给我们留下来的资料浩如烟海，只要你下狠功夫去研究清代的这些资料，很快就可以介入。通过资料，我看到了他们是怎样生活，包括一斤豆腐多少钱，一斤白菜多少钱，他们留下了日记。我还可以找到借类的喜怒哀乐。各种资料可以在我们今天人的脑海中形成一种感觉，这样写起来就比较容易驾轻就熟。
另外从大的观念来讲，康熙、雍正和前三代皇帝是中国封建社会的回光返照时期，里面的文化含量比较高，文化折射出来的中国封建社会的人文思想比较多，对这个时代感兴趣的读者会引起更为浓厚的兴趣。所以，我最后还是选择了清朝这个题材。
主持人：我们继续来看一下深圳市民对金庸和二月河先生的提问。请看大屏幕。
大屏幕：我想问一下金庸先生曾经是浙江大学的名誉校长，后来他为什么辞职？
金庸：因为作为人文学院院长，带博士生的时候，我觉得自己学问不够了，还要再去念念书，所以辞了职以后我到英国剑桥大学念书。当时他们给我一个名誉博士学位，我觉得名誉博士学位当然也很好，但我觉得最好还是拿一个真正的博士比较好，所以我就自己去念书。浙大不能兼着，又拿薪水又不去工作，这是对不起人家，不可以。他们挽留我不要辞职，希望我挂名，我说挂名也不要挂了，薪水也不要拿了，将来我毕业之后如果你再请我，我们再商量。
主持人：好，我们继续看深圳市民的提问，请看大屏幕。
大屏幕：对雍正这个人，大家有不同的评说，这个事情作为读者来说无所适从？
主持人：这位朋友提的仍然是一个老问题。二月河先生为什么要给雍正翻案？
二月河：我在书里塑造的雍正绝对不是二月河发明创造的，而是很多清史专家他们早就研究出来的成果，我只是把它变成了文学的形式，我不能贪天之功，这是第一。第二具体说到雍正我可以简单跟大家作一个解释，使我感到震惊的是，我第一次读到雍正的朱批御旨，我们南阳也有４０多本，朱批御旨就是今天我们说的文件的批语。雍正在位１３年，批阅的朱批御旨是１０００多万字，我们大陆故宫和台湾故宫原件累积起来是１０００多万字。我写书写了１３年，写了五百万字，写了一身病。雍正没有时间去荒淫无耻，他是个办公狂。而且，雍正在位的时候做了一系列改革，包括摊丁入亩、官绅一体纳粮、火耗归公、解放贱民这一系列政策在历史上斑斑可考。
另外关于雍正篡位这一说，传位于四子，传位十四子，这一说不是过去我们指责雍正的主要根据之一吗？按照清代文件的书写制度是这样的，传位于四子，应当写成“传位于皇四子”，传位于十四子，应当写明是“传位于皇十四子”。如果加上这个“皇”字大家想象能不能改？并且满清宫廷这样重要的文件，是满汉合笔，改了汉文，改不了满文。所以雍正这一辈子得罪的人太多了，几乎是所有的地主、所有的官僚他统统都得罪了。有个数据很能说明问题，在康熙死的时候国库里的银两是七百万两，到了雍正经过一番整顿，国库里的银两增加到五千万两银子，这五千万两银子并不是通过增加赋税、加重老百姓的负担积累起来的，而是从官员非法的剥削、非法的攫取当中把损失捞回来了。实际上乾隆皇帝制造十全武功，做出那么大的成就，和雍正死的时候给他留下了一个相对廉洁的干部队伍和一笔相对丰厚的经济支柱有关。我原来也认为雍正建立血滴子组织、特务组织以及文字狱这一系列的事件，让人不寒而栗。但是后来我读了这么多专家的文章，我自己也读了一些书，包括雍正写的《大义觉迷录》，读了以后我感觉对雍正的看法发生了变化。我自己扭转对雍正的感情问题用了两年。如果我始终对雍正感觉到是坏人，在我的笔下就不可能出现一个比较正面的雍正。
主持人：二月河先生对雍正的评价比较高，但是您刚才谈到雍正其实也得罪了很多人。
二月河：这个人的弱点也很多，他寡趣、刻薄，整起人来一点余地也不留，所以如果单位有雍正这样的领导，在他手下干活很倒霉。
主持人：雍正得罪了很多人，其实雍正也把金庸先生得罪了，因为金庸先生的先祖是受到了雍正非常严酷的政治迫害，金庸先生您怎么看待雍正呢？
金庸：其实我同意凌先生的讲法，历史上各种恶的事件全部放到他头上，其实很不公道的，比如像我的先祖，几代以前的查嗣庭，人家说查嗣庭之所以被杀头，家里死了很多人，是因为他出了个题目叫做维民所止，就是把雍正这个头维与止，把雍正砍了头，所以杀头。我觉得这在原来的历史上完全不对。后来据很多人考证，其实这是一个政治斗争，查嗣庭是拥护二皇子的，是二皇子一派的，胤缜四皇子他们之间内部争夺王位的政治斗争，二皇子失败了，查嗣庭也被杀掉了。
主持人：金庸先生曾经说过《鹿鼎记》里面真正的主人公是康熙皇帝，而不是韦小宝，同时二月河先生也对康熙皇帝有非常高的评价，您是把您的小说命名为《康熙大帝》，所以也有人说两位对于开明君主都有一种情结，两位是这么认为吗？
金庸：在君主专制时代，一个开明的君主当然比一个无能的君主好，这是肯定的。
二月河：我是这样判断这个事物的标准，就是说在中国历史上不论他是什么出身，我们不要考虑他是地主还是富农，是农民、乞丐，还是道士、和尚、太监，只要他对当时国家的统一、民族的团结、人民生活水平的提高、生产力的发展作出过贡献，不论是康熙还是雍正、乾隆，蔡伦（蔡伦是太监）、郑和（也是太监），还是黄道婆、毕升，只要他对我们国家作出过贡献，我们就应该给予肯定，不要去过多考虑人家出身。我刚才说喜欢《神雕侠侣》，杨过的爸爸也不是个好人，杨过本人是一个杰出优秀的人，但是受他爸爸的株连吃了不少的苦。
金庸：我不赞成父子英雄儿好汉，这句话我不同意。
二月河：我们在历史上，应该把这种观点进行彻底抨击。个人应该自己对自己的行为负责任。康熙自己懂七门外语，还懂数学、地震，关于地震他写过三篇论文，数学里所用到的元次根，就是二元一次方程的根，元次根这三个数学术语就是康熙自己发明的。
金庸：我很同意凌先生的讲法，只要这个人对国家有贡献，对人民有好处，那我们就肯定。
二月河：用查先生的话说，侠之大者。康熙应当称为大帝，三次亲征准噶尔，勘定了新疆，解决了台湾问题。
主持人：削平三藩。
二月河：整个民族大团结，中华民族版图空前张大，这样一个人你不肯定，肯定谁呢？不论在数学方面，还是在音乐、医学方面的贡献，他都是当时顶尖的。他本人就是一个非常了不起的高级知识分子。
主持人：我明白。二月河先生喜欢的并不是康熙这个皇帝，喜欢的是军事家、政治家、数学家，音乐家和语言学家的爱新觉罗玄烨，是这样吗？
二月河：康熙自己能够在北京种出二亩双季稻，而且这个双季稻在北方几省都进行推广，对多少穷人有好处。如果是别人干出这样的成就，我们肯定要说这是多么伟大、多么了不起的科学家，因为康熙出身是个地主阶级，所以我们今天就要小看他，是不是跟看不起杨过是一样的错误呢？
主持人：所以做好事就表扬，做坏事就批评，这就是历史小说作家的一个权利。
金庸：是啊。
主持人：两位的作品中有很多关于侠义精神的阐释，金庸先生认为什么是侠义的最基本的精神？
金庸：侠义就是可以牺牲自己去帮助人家，拔刀相助。为了自己的利益去损害别人，这种就是坏人。
主持人：金庸先生对侠义的定义是帮助别人。二月河先生怎么定义侠义？
二月河：我也是从金庸先生的书里领会得更多，侠之大者是为国为民，凡是努力帮助别人的行为都可以认为是侠义行为，在为国为民方面作出过贡献，这就是侠之大者。我们一般的侠也要，侠之大者也要。
主持人：不过现在有这样的一种说法，在今天的社会好像侠义精神生存的土壤和空间越来越小，您是这么看吗？
金庸：侠义精神经过“文革”之后变得越来越差了，所以我们更加需要提倡侠义精神。以前“文革”时候对爸爸也要斗争，对老师也要斗争，我觉得这个完全不是侠义。你应该牺牲自己，爸爸有困难，做儿子的当然应该牺牲自己去帮助他；老师平时教我对我有恩义，他有困难时我当然应该帮助他。为了自己的利益去斗争老师、斗争父亲，这种人卑鄙至极，我非常瞧不起这种人。我觉得“文革”最大的遗害就是完全没有人性了。
主持人：我现在明白您的意思，在我们今天的社会里，只要你能够助人为乐，经常帮助别人，就是有侠义精神的人。
金庸：是的。从小处说，比如路上的垃圾我把它捡起来，对社会有帮助，深圳清洁一点了，这也是个小小的侠义精神。也是好的。你随地吐痰，把东西搞得乱糟糟的，破坏社会，这个就是反侠义精神。
主持人：两位在中国文坛上被称为一南一北两位大侠，很多人称呼金庸先生是金大侠，您满意这个称呼吗？
金庸：我是不敢当，称二月河先生为凌大侠，我愿意这样讲。但我自己不敢当。我做人的目标希望做一点好事，不要做坏事。大侠不敢当，总之应该做一个好人，至少做好事，要以此为目标，尽可能的帮助别人使人快乐、使人高兴，不要去损害别人。
二月河：努力吧。努力。
主持人：这是一位香江大侠和一位中原大侠，各自对于侠的阐释。我们在这里也搜集了很多网友的提问，他们得知两位在这有一次坐而论道，他们的问题有这样一些：有一位网友说，金庸先生曾经说过，自己最喜欢的作品是《鹿鼎记》，而二月河先生在去年接受人民网采访的时候曾经说过金庸先生的作品里面他比较不喜欢《鹿鼎记》，这是为什么？
二月河：《鹿鼎记》我感觉是写了一个小流氓，康熙那么重要的人物在这里不重要，光是看到韦小宝在跳梁，我感觉从大气的角度上不及像我刚才提到的这种侠义精神。因为金庸先生他的书多数捍卫的不是一个人，他捍卫的是他自己的一种理念。他是凭他自己这种非凡的才能调动起各式各样的艺术手段，调动生花妙笔，把人类这种最美好的东西融合在一起。只要是好的东西他会努力去捍卫；只要是很糟糕的，他在书里最后一定把它鞭挞得一塌糊涂。这种理念在《鹿鼎记》里没有表现出来，可能我还没有深入。我不光是不喜欢看《鹿鼎记》，我也不喜欢托尔斯泰的《战争与和平》，这就不能证明我不喜欢的东西就不好，说不定《鹿鼎记》也很好。
金庸：第一我没讲过我最喜欢《鹿鼎记》。我只可以说就小说的艺术而言，可能《鹿鼎记》比其他的小说进步一点，并不是我喜欢。像《神雕侠侣》、《天龙八部》很开心，像《鹿鼎记》没什么开心的想象。
主持人：我刚才听二月河先生的意思，他有一点点批评您。《鹿鼎记》里边对于美和丑这个原则好像没有坚持，是这样吗？
金庸：我解释一下，《鹿鼎记》其实不是武侠小说，它的重点是刻画中国不正当的社会中一些不正当的、不好的风气。
主持人：黑幕小说。
金庸：对，也接近黑幕小说，甚至于学《阿Ｑ正传》，鲁迅先生在描写中国社会中、中国民族性中一种不好的趋向。
主持人：两位觉得自己哪一部作品被改编成电影、电视剧改得最成功。
金庸：《雍正皇帝》我就很喜欢看，我在澳洲的时候和我太太晚上一直看，晚上不睡觉，一直看到天亮，我很喜欢。
二月河：金庸先生的带子，我都有，还有全套的书，我都买了。看得最多的是《天龙八部》。
金庸：《天龙八部》可能是到现在为止改得最少的。我自己作为作家的身份，人家来改我的东西，我都不喜欢的。我特别跟这些编导说，哪一部你不改，我给十万奖金，所以《天龙八部》我给十万奖金，他们改得很少。如果改得很多的话，就没有奖金。
二月河：我对《雍正王朝》这个电视剧相对来说还是比较满意的，我给了它５９．５分。
主持人：下一个问题是金庸先生还打算写书吗？听说您还想写一两部历史小说，这个计划进行得怎么样？
金庸：我看了二月河先生写的历史小说我就不写了。
二月河：我是在《雍正王朝》电视剧播出的第三天，去收发室取报纸，走路回来突然左半身就麻，我一检查是右脑主干拴塞了。整个左边身子现在也是麻木的，这种身体状态不允许我再做比较大的活。
主持人：今年其实很特殊，因为今年在三个月前二月河先生度过了自己六十岁的生日，同时今年还是金庸先生武侠小说创作的五十周年，在这么特殊的一年能够把两位请到这里来我们的确也感到特别荣幸。我们一直很好奇，当两位见面以后会不会问对方一两个问题，我不知道金庸先生您看到二月河先生以后，您想向他提出什么样的问题？
金庸：我心理的好感。跟凌先生见了面，我愿意跟你交个朋友，你愿不愿意？我觉得你很好。我愿意跟你做个好朋友。
二月河：是这样，是这样。我有个感觉，我见了金庸先生，我感觉到他有点像他书里的老顽童。
主持人：非常遗憾，由于时间的关系，我们今天两位大师的对话活动，只能够进行到这里了。虽然时间很短，但是两位大师仍然给我们讲了许多很精彩的见解，在这里要向两位大师表示衷心的感谢！同时也向今天光临现场的各位朋友表示感谢，谢谢各位！
欧拉公式—宇宙第一公式，几乎蕴含所有数学元素，开创了新的时代
前段时间完美聊了一下麦克斯韦方程，那么聊到世界上最完美的公式，就肯定离不开欧拉公式，如果说麦克斯韦方程首次让物理学界迎来了大一统，那么欧拉公式就可以被称为“公式之母”，无数数学界以及物理界的公式都是受他影响而诞生，可以说推动了数学界和物理界的大发展，数学家们更是评价它是“上帝创造的公式”。而这个公式的发明者欧拉也被誉为“数学之王”，是数学界的四大天王（“数学之神”阿基米德、牛顿、“数学王子”高斯、欧拉）。
我们先来聊聊欧拉，欧拉可以说就是为数学而生，人家9岁，就把牛顿的《自然哲学的数学原理》看完了。
13岁考入巴塞尔大学一开始是主修哲学和法律。后来觉得太容易了，太轻松了。一口气又修了数学、神学、希伯来语以及希腊语。
课余还研究音乐、物理、建筑啥的。这他都觉得大学过的很闲。花了两年时间就把六个专业学完了，然后毕业了......
顺手考了一个硕士，可能是觉得硕士学习的内容太简单了，欧拉完全提不起兴趣。心想要不然就考个博士吧。
然后硕士读了一年了就成功考取了博士。
这些欧拉才心满意足，觉得还是有点学习的价值，乖乖读了3年。19岁就成功博士毕业了。博士毕业论文就是写的物理论文。
为啥说欧拉自负傲娇气性大，因为他20岁的时候参加巴黎科学院奖金的争夺，就拿了一个第二。
欧拉啥时候受过这样的气啊，心想虽然自己比赛的时候也是洒洒水，没这么认真。也不至于就第二吧。
当年拿第一的皮埃尔·布格也是厉害人物，在多个领域有很高成就，被后世尊为“ 造船工程学之父 ”。
可惜他碰上的对手是欧拉。
欧拉很生气，后果很愤怒。接下来12年，建筑大赛的冠军都被欧拉拿了。
到了33岁，欧拉才觉得气消，不再参与比赛。27岁那年，他发明了一系列对人类影响深远的符号——圆周率的符号π、函数符号f(x)、以及三角学符号sin、cos、tg等等都是他发明的。
欧拉凭一己之力，成功为中国数学教材贡献了无数的知识点。让中国学生在中考、高考的数学火海里苦苦挣扎，然而，这只是人家做的一点点微博贡献。
从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式都是他送给理科系大学生的礼物。
还有哥德巴赫猜想也是哥德巴赫写信给欧拉时提出的。现在流行的版本是欧拉记载下来的。
哥德巴赫写给欧拉的信
欧拉在数学的勤奋还有天赋真的是前无古人。号称科研就和生活一样。可能在喝一杯水的时候，就立马想处一个公式来了。
另外，他还顺便创造了几个全新的学科：拓扑学、弹道学、分析力学，还自学成为了制图学家。全欧洲的天文学家正在讨论该如何计算彗星的轨道，100多个专家苦苦尝试却毫无进展。
27岁的欧拉听说了这件事之后，得瑟之心油然而生，为了显摆自己的智商，他连续三天不吃不喝不睡，搞出了一套计算彗星轨道的方法。
然而天道好轮回，天才也缴税，由于连续三天没合眼，他的右眼劳累过度，瞎掉了...
不过他表示还可以再坚持一下，30岁的独眼欧拉出版了震古烁今的巨著《力学，或解析地叙述运动的理论》，提出了质点的概念。
还在速度与加速度问题上引入了矢量，一系列巨大成果，改变了人类发展的走向。
32岁时候，很久没有跨界的他，心里痒痒的，于是出版了一部音乐理论著作，顺便发明了，空气动力学和流体动力学。。
在59岁的时候，欧拉彻底瞎了，但是欧拉觉得好像解放了新世界。虽然看不清楚，没有办法计算，但是欧拉强悍的心算能力弥补了这一点。
欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容。
而且老年时期还能清楚记得维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》，这本书有多厚呢，人民出版社翻译的中文版共有300多页。
欧拉可以清晰记得哪一句在哪一页哪一段哪一行。
有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位。
欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．欧拉以惊人的记忆力还有能力解决了需要计算的难题，写东西更勤快了。还创立了分析力学和刚体力学
他喜欢拿自己的小孩做背板，然后在那里计算。就和这幅图一样。
1771年，64岁的欧拉因为彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中。
虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。
记忆力惊人的欧拉表示，烧掉了有什么，我再重新写出来不就好了。
他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录。
然而即使欧拉奋战了13年，依然才整理出来一小部分被烧毁的成果，可以说如果不是这场大火，那么欧拉遗留下来的成果你想想对文明的进步会有多大的发展。
他大火之后整理出来的小部分成果共包括886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。
以欧拉命名的公式与定理，足足有数十个。这其中最为知名的就是我们的主体“欧拉公式”，这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction，它是复分析的欧拉公式特例。。
欧拉公式并没有多复杂，反而方程简单，有点像武林高手，达到了最高境界，返璞归真一样的感觉。
看起来是不是特别地简单，但是这个公式在以前即使是许多的数学界穷尽一生都很难琢磨明白，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
那么为什么说这个公式非常复杂呢？因为你可以用非常多不同的方式去证明它，你既可以用数学归纳法证明，也可以用推理证明，也可以分式推导，还可以用复变函数求证，甚至你可以用 平面几何学、 物理学、拓扑学来推证。所以才说他蕴含了所有的数学元素，甚至蕴含了宇宙的至理法则。
自然数也被称为欧拉数的“e”含于其中。 自然对数的底、素数定理、完全率、阻力落体、粒子运动，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，都蕴含着“e"
而另外一个超越数，π，大家相比很清楚了，就是圆周率。这两个超越数都是欧拉发明的。
也包含了最重要的运算符号 ，最重要的关系符号 = 。而0和1，是构造群，环，域的基本元素，也是构造代数的基础。 而虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面，在哈密尔的 4 元数与 凯莱的 8 元数中也离开不了它。
所以你明白为什么这个公式非常之复杂了吗？也正是因为其涵盖范围如此广泛，如三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论等受到了它的影响。它同样对物理学影响也非常巨大，如机械波论、电磁学、波动光学以及引发了电子学革命的量子力学的理论基础也蕴含其中。也将物理学中的圆周运动、简谐振动、机械波、电磁波、概率波等联系在了一起......
举一个例子，你可以使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix) e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix) ie^(-ix)]
cosα=1/2[e^(iα) e^(-iα)]sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。可以说欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。
还可以把它扩展为时间的函数。（引用至CSDN xieyan0811 ）
加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是时间，w是系数。把平面上的转圈扩展成了空间中的转圈，纵轴表示时间t，两个横轴分别为实部(cos(t))和虚部(sin(t))，蓝线经过的点是e^ix，即，把时域上的e^ix分别投射到了实轴cos(t)和虚轴sin(t)，它们都是时间t的函数．图中可看到正余和余弦的投射（红／绿）。如果用python做3D图，拖动旋转角度效果更直观．这就是傅立叶变换原理：将时域值拆分映射到频域，通过三角函数的叠加表示。
还有拓扑学里的欧拉公式
v f-e=x(p)，v是多面体p的顶点个数，f是多面体p的面数，e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。 如果p可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么x(p)=2，如果p同胚于一个接有h个环柄的球面，那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
所以看完之后，你就能知道为什么欧拉公式被誉为“上帝创造的公式”了吧，很多数学家甚至物理学家都从欧拉公式里得到了启发，高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”
物理学家查德·费曼惊呼：欧拉恒等式不但是“数学最奇妙的公式”，也是现代物理学的定量之跟。
只是不知道为数学而痛苦的各位，是不是看到这个公式十分气愤，毕竟很多我们中高考大学的公式都是受它影响～
爱因斯坦：我如何用17年创立相对论，杨振宁评：巅峰创造力撞击物理危机
【导读】克隆猴诞生、北斗导航服务全球、港珠澳大桥建成通车、嫦娥四号探测器在月球背面成功着陆……我国科技创新大潮澎湃，重大创新成果竞相涌现，正步履坚实地向建设世界科技强国目标前行。回望科学技术史，爱因斯坦创建相对论是一个具有理论创新意义的事件。今年是其诞辰140周年，日前文汇报刊发报道《是什么让爱因斯坦“双眼放光”》，聚焦新出版的《爱因斯坦：我的世界观》，该书以1953年德文版《我的世界观》为底本，系统收入了这位科学大家的绝大多数演讲、文章等，其中有20多篇短文此前从未翻译成中文出版过。今分享其中一篇——爱因斯坦于1922年在日本京都大学发表的演讲及杨振宁为《爱因斯坦：我的世界观》所作的序。
【演讲精选】
爱因斯坦：我如何创立了相对论
要解释我如何发现相对论绝非易事。这是因为，它涉及了各种各样隐秘的复杂因素，在不同程度上刺激并影响着一个人的思考。我不会挨个提到这些因素，也不会列出我写过的论文，只会简要概括那些在我的思考发展主线中的关键点。
酝酿思考17年，创立相对论
我第一次考虑相对性原理这个想法的时间，大概是在17年前。我说不准它从何而来，但它肯定与运动物体的光学问题有关。光穿过以太海，地球也穿过以太海。从地球的角度来看，以太正在相对地球流动。然而我在任何物理书刊中，都无法发现以太流动的证据。这使我想要找到任何可能的途径，去证明地球运动引起的以太相对地球流动。
在开始思索这个问题时，我根本没有怀疑过以太的存在或地球的运动。因此我预言，如果来自某个源的光被一面镜子适当地反射，那么它应该有一个不同的能量，这个能量取决于它的移动是沿着地球的运动方向还是相反方向。
利用两个热电堆，我试着通过测量在每一个热电堆中产生的热量的不同，以此核实这一点。这个想法与在迈克尔逊实验中的一样，但我对他的实验的理解当时还不清晰。
当我还是一个思索这些问题的学生时，就已熟知迈克尔逊实验的奇怪结果，并出于直觉意识到，如果我们能接受他的结果是一个事实，那么认为地球相对以太运动的想法就是错误的。这一洞见实际上提供了第一条导致现在被称为狭义相对论原理的东西的道路。
我自此开始相信，虽然地球绕着太阳旋转，但也不能利用光的实验证实地球运动。恰好正是在那个时间前后，我有机会拜读了洛伦兹在1895年的专著。洛伦兹讨论并设法完全解决了一阶近似的电动力学，即忽略运动物体速度与光速比值的二阶和更高阶小量。
我也开始研究斐索实验的问题，并假设在用运动物体坐标系取代真空坐标系时，由洛伦兹建立的电子方程式仍然有效，以此来解释斐索实验的问题。无论如何，我当时相信麦克斯韦-洛伦兹电动力学方程是可靠的，它描绘了事件的真实状态。
此外，方程在一个移动坐标系也成立这一条件，提供了一个被称为光速不变的论点。但光速的这种不变性，与从力学得知的速度相加法则不相容。
《爱因斯坦：我的世界观》，[美]阿尔伯特·爱因斯坦著，方在庆编译，中信出版集团2018年11月出版
遇难解之谜，在与朋友的偶然交流中茅塞顿开
为什么这两件事互相矛盾？
我觉得自己在这里遇到了一个异乎寻常的困难。我花了几乎一年的时间思索它，认为自己将不得不对洛伦兹的观点做某种修正，但徒劳无果。我只好承认，这并不是一个容易解决的谜。偶然之下，一个住在（瑞士）伯尔尼的朋友帮助了我。
那天是个好天气。我拜访他，对他说的话大概是：“我这些天一直在与一个问题做斗争，不论怎样尝试，都没法解决它。今天，我把这个难题带给你。”我和他进行了多方面的讨论。通过这些讨论，我突然恍然大悟。第二天，我又拜访了他，干脆痛快地告诉他：“谢谢。我已经完全解决了自己的问题。”
我的解决方法事实上与时间的概念有关。
要点是，没有一个绝对的时间定义，而是在时间和信号速度之间有一个分不开的联结。利用这个想法，我就能第一次完全解决那个之前异乎寻常的困难。有了这个想法后，我在五周内完成了狭义相对论。
我毫不怀疑，从哲学观点来看，这个理论也是非常自然的。我也意识到它很好地符合了马赫的观点。尽管正如与后来广义相对论解决了的那些问题一样，狭义相对论与马赫的观点显然并没有直接联系，但是可以说它与马赫对各种科学概念的分析有间接的联系。狭义相对论由此诞生。
广义相对论的第一个想法发生在两年后——1907年，它是在一个值得纪念的环境中发生的。
运动的相对性限于相对匀速运动，不适用于随意的运动，当时我对此已经感到不满了。我总在私下想，是否能以某种方法来去掉这种限制。
1907年，应《放射性与电子学年鉴》的编辑施塔克先生的要求，我尝试为该年鉴总结狭义相对论的结果。当时我意识到，虽然能够根据狭义相对论讨论其他所有自然法则，但这个理论却无法适用于万有引力定律。我有一种强烈的渴望，想设法找出这背后的原因。
但要实现这个目标并不容易。我对狭义相对论最不满意的，是这个理论虽然能完美地给出惯性和能量的关系，但是对惯性和重量的关系，即引力场的能量，还是完全不清楚的。我觉得在狭义相对论中，可能根本找不到解释。
广义相对论认为引力来自时空的弯曲
简单想象带来巨大冲击力，推动提出新的引力理论
我正坐在伯尔尼专利局的椅子上的时候，突然产生一个想法：“如果一个人自由落下，他当然感受不到自己的重量。”我吓了一跳。这样一个简单的想象给我带来了巨大的冲击力，正是它推动着我去提出一个新的引力理论。
我的下一个想法是：“当一个人下落时，他在加速。他观察到的，无非就是在一个加速体系中观察到的东西。”由此，我决定将相对论从匀速运动体系推广到加速度体系中。我期待这一推广能让我解决引力问题。
这是因为，一个下落中的人感受不到他自己的重量，可以被解释为是由于一个新的附加引力场抵消了地球的引力场；换句话说，因为一个加速度体系提供了一个新的引力场。我并没能以这个观点为基础，马上把问题完全解决。我又花了八年以上的时间找到正确的关系。但同时，我开始部分地意识到这马赫也坚持认为所有加速度体系是等效的。
但这明显与我们的几何不相符，因为如果允许加速度体系，那么欧氏几何将不能在所有体系中都适用。不用几何表达一个法则，就像不用语言表达一个想法。我们首先必须找到一种表达我们思想的语言。那么在这种情况下，我们要找的是什么？
高斯的曲面论是否是揭开谜团的钥匙？
在1912年之前，我都没解决这个问题。就在那一年，我突然意识到，有充分理由相信高斯的曲面论可能是揭开这一谜团的钥匙。当时我意识到了高斯曲面坐标极其重要，但还不知道黎曼已经提供了有关几何基础的更深刻的讨论。我碰巧想起，当我还是一名学生时，在一位名为盖泽的数学教授的课上听过高斯理论。
从这里我发展了自己的想法，并且想到了几何必须有物理意义这一概念。当我从布拉格回到苏黎世时，我的好朋友、数学教授格罗斯曼正在那里。我在伯尔尼专利局时，很难得到数学文献，而他曾经愿意向我提供帮助。这一次，他教了我里奇理论，之后又是黎曼理论。所以我问他，是否能通过黎曼理论真正解决我的问题，即曲线元的不变性是否能完全决定它的系数——我一直试图找到这个系数。
黎曼（左）、高斯（右）
1913年，我们合写了一篇论文。但我们并没能在那篇论文中得到正确的万有引力方程。虽然我继续研究黎曼方程，尝试了各种不同的方法，但只是发现了诸多不同理由，使我相信它根本不能得出自己想要的结果。
接下来是两年的艰苦研究。然后我终于意识到在自己先前的计算中存在着一个错误。因此我转回了不变量理论，并试着找到正确的万有引力方程。
两周后，正确的方程终于第一次出现在我的眼前。关于我在1915年后所做的研究，我只想提宇宙学问题。这个问题涉及宇宙几何和时间，一方面基于对广义相对论中的边界条件的处理，另一方面则基于马赫对惯性的观点。当然，我并没有具体地知道马赫对惯性的相对性有什么看法，但他肯定至少对我产生了一个极其重要的影响。
无论如何，在尝试找出万有引力方程的不变性边界条件后，我终于能通过把宇宙视为一个封闭空间并消除边界而解决了宇宙学问题。从这一点我得出以下结论：惯性只不过是一个由一些物体共享的性质。如果一个特定的物体旁边没有其他天体，那么它的惯性肯定会消失。
我相信，这使广义相对论在认识论上能令人满意。我认为，上述描述对相对论的基本要素是如何被创建的做了一个简要的历史梳理。
（1922年12月14日，爱因斯坦在日本京都大学发表了演讲，石原纯做翻译，并用日文记载了爱因斯坦的演讲内容。这篇记录1923 年发表于第五卷第二期的《改造》杂志（2～7页）
文汇报1月30日刊发的报道《是什么能让爱因斯坦“双眼放光”》
【杨振宁之序】
爱因斯坦：机遇与眼光
生逢其时，得以有机会改写物理学进程
1905年通常称为阿尔伯特·爱因斯坦的“奇迹年”（Annus Mirabilis）。在那一年，爱因斯坦引发了人类关于物理世界的基本概念（时间、空间、能量、光和物质）的三大革命。一个26岁、默默无闻的专利局职员如何能引起如此深远的观念变革，因而打开了通往现代科技时代之门？当然没有人能够绝对完满地回答这个问题。可是，我们也许可以分析他成为这一历史性人物的一些必要因素。
首先，爱因斯坦极其幸运：他生逢其时，当物理学界面临着重重危机时，他的创造力正处于巅峰。换句话说，他有机会改写物理学的进程，这也许是自从牛顿时代以来独一无二的机遇。这种机遇少之又少。E.T.贝尔（Bell）的《数学精英》引用了拉格朗日（J.L.Lagrange,1736—1813）的话：
虽然牛顿确实是杰出的天才，但是我们必须承认他也是最幸运的人：人类只有一次机会去建立世界的体系。
这里，拉格朗日引用的是牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）中第三卷即最后一卷前言中的话：
现在我要演示世界体系的框架。
牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》
拉格朗日显然非常嫉妒牛顿的机遇。可是爱因斯坦对牛顿的公开评价给我们不一样的感觉：
幸运的牛顿，幸福的科学童年……他既融合实验者、理论家、机械师为一体，又是阐释的艺术家。他屹立在我们面前，坚强、自信、独一无二。
爱因斯坦有机会修正200多年前牛顿所创建的体系。可是这个机会当然也对同时代的科学家们开放。的确，自从1881年迈克尔逊—莫雷（Michelson-Morley）首次实验以及1887年第二次实验以来，运动系统中的电动力学一直是许多人在钻研的热门课题。令人惊奇的是，当爱因斯坦仍在苏黎世念书时，他已经对这个题目发生了浓厚的兴趣。1899年他曾写信给他后来的太太米列娃：
我还了赫姆霍兹的书，现正在非常仔细地重读赫兹的电力传播工作，因为我以前没能明白赫姆霍兹关于电动力学中最小作用量原理的论述。我越来越相信今天所了解的运动物体的电动力学与实际并不相符，而且可能有更简单的理解方式。
电流的磁效应，运动的电荷产生磁场其实就是相对论效应的体现
他追寻此更简单的理解方式，六年以后引导出了狭义相对论。
当时许多科学家对这个科目也极感兴趣。庞加莱（L.H. Poincaré，1854—1912) 是当时两位最伟大的数学家之一，他也正在钻研同一个问题。事实上，相对性（relativity）这一名词的发明者并不是爱因斯坦，而是庞加莱。庞加莱在1905 年的前一年的演讲《新世纪的物理学》中有这样一段：
根据相对性原则，物理现象的规律应该是同样的，无论是对于固定不动的观察者，或是对于做匀速运动的观察者。这样我们不能，也不可能，辨别我们是否正处于这样一个运动状态。
这一段不仅介绍了相对性这个概念，而且显示出了异常的哲学洞察力。然而，庞加莱没有完全理解这段话在物理上的意义：同一演讲的后几段证明他没有抓住同时性的相对性（relativity of simultaneity）这个关键性、革命性的思想。
爱因斯坦也不是首位写下伟大的转换公式的人：
之前，洛伦兹（H.A.Lorentz,1853—1928）曾写出这个公式，所以当时这个公式以洛伦兹命名，现在仍然是这样。可是洛伦兹也没能抓住同时性的相对性这个革命性思想。1915年他写道：
我失败的主要原因是我死守一个观念：只有变量t 才能作为真正的时间，而我的当地时间t’仅能作为辅助的数学量。
这就是说，洛伦兹有数学，但没有物理学；庞加莱有哲学，但也没有物理学。正是26岁的爱因斯坦敢于质疑人类关于时间的原始观念，坚持同时性是相对的，才能从而打开了通向微观世界的新物理之门。
几乎今天所有的物理学家都同意是爱因斯坦创建了狭义相对论。这对庞加莱和洛伦兹是否公平？要讨论这个问题，让我们先引用怀特海（A.N.Whitehead,1861—1947）的话：
科学的历史告诉我们：非常接近真理和真正懂得它的意义是两回事。每一个重要的理论都被它的发现者之前的人说过。
庞加莱（左），洛伦兹（右）
超越洛伦兹与庞加莱，源于孤持、距离、自由的眼光
洛伦兹和庞加莱都没有抓住那个时代的机遇。他们致力于当时最重要的问题之一，即运动系统中的电动力学。可是他们都错失其重点，因为他们死守着旧观念，正如洛伦兹自己后来所说的一样。爱因斯坦没有错失重点是因为他对于时空有更自由的眼光。
要有自由的眼光（free perception），必须能够同时近观和远看同一课题。远距离眼光（distant perception）这一常用词就显示了保持一定距离在任何研究工作中的必要性。可是只有远距离眼光还不够，必须与近距离的探索相结合。正是这种能自由调节、评价与比较远近观察的结果的能力形成了自由的眼光。按照这一比喻，我们可以说洛伦兹失败了是因为他只有近距离眼光，而庞加莱失败了是因为他只有远距离眼光。
中国伟大的美学家朱光潜（1897—1986）强调过“心理距离”在艺术和文学创作上的重要性。我认为他的观念与上述的远距离眼光是一致的，只是在不同的学术领域而已。在最权威的爱因斯坦的科学传记Subtle is the Lord（即前文所引A. Pais 的著作）中，作者选择这样一个词来描写爱因斯坦的性格：孤持（apartness），并且在第三章开始时引述道：
与其他人保持距离；单独地、孤立地、独自地。（《牛津英文词典》）
的确，孤持、距离、自由眼光是互相联系的特征，是所有科学、艺术与文学创造活动中一个必要因素。
光电效应
1905年爱因斯坦另一个具有历史意义的成果是他于3月间写的论文《关于光的产生和转化的一个启发性观点》。这篇文章首次提出了光是带分立能量hv的量子。常数h由普朗克于1900 年在其大胆的关于黑体辐射的理论研究中提出。然而，在接下来的几年里，普朗克变得胆怯，开始退缩。1905 年爱因斯坦不仅没有退缩，还勇敢地提出关于光量子的“启发性观点”。这一大胆的观点当时完全没有受到人们的赞赏，从以下的几句话就可以看出这一点：八年后，当普朗克、能斯特（W.H.Nernst）、鲁本斯
（Heinrich Rubens）、瓦尔堡（O.H.Warburg）提名爱因斯坦为普鲁士科学院院士时，推荐书上说：
总之，我们可以说几乎没有一个现代物理学的重要问题是爱因斯坦没有做过巨大贡献的。当然他有时在创新思维中会错过目标，例如，他对光—量子的假设。可是我们不应该过分批评他，因为即使在最准确的科学里，要提出真正新的观点而不冒任何风险是不可能的。
这封推荐书写于1913年，其中被嘲笑的光——量子假设（hypothesis of light-quanta）指的就是上述爱因斯坦于1905年大胆提出的想法。可是爱因斯坦不理这些嘲笑，继续把他的想法向前推进，于1916年至1917年确定了光量子的动量，进而发展为1924 年对康普顿效应（Compton effect）的划时代的认识。
光量子这一革命性之观点产生的历史可以总结为：
1905年 爱因斯坦关于E=hv的论文
1916年 爱因斯坦关于P=E/c的论文
1924年 康普顿效应
在那些年里，在1924年康普顿效应确立之前，爱因斯坦完全孤立，因为他对光量子的深邃眼光不被物理学界所接受。
对广义相对论，爱因斯坦创造机遇而非抓住机遇
在1905年至1924年之间，爱因斯坦的研究兴趣主要在广义相对论。作为科学革命，广义相对论在人类历史上是独一无二的。其设想宏伟、美妙、广邃，催生了令人敬畏的宇宙学，而且它是一个人独自孕育并完成的，这一切让我想起《旧约》里的创世篇（不知爱因斯坦本人是否曾想起这个比较）。
当然，我们很自然也会想起其他的科学革命，例如牛顿的巨著、狭义相对论、量子力学。不同之处：牛顿的工作确实是宏伟、美妙、广邃的。对。可是在他之前有伽利略（Galileo）、开普勒（Kepler），还有更早的数学家和哲学家们的成果。他也不是当时唯一在寻求万有引力定律的人。狭义相对论和量子力学也都是影响深远的革命。可是它们是当时许多人研究的热门课题，都不是由一个人所创建的。
关于广义相对论，爱因斯坦没有抓住什么机遇，而是创造了这个机遇。他独自一人通过深邃的眼光，宏伟的设想，经过七八年孤独的奋斗，建立起一个难以想象的美妙体系。这是一次纯粹的创造。
伽利略（左）、开普勒（右）
后半生的研究重点：对于统一场论的投入被描述为着魔
广义相对论代表引力场的几何化。自然而然它使爱因斯坦接着提出电磁场的几何化。从而又产生了将所有自然力几何化的想法，即统一场论。此发展成为他后半生的研究重点。例如，1949年至1950年在普林斯顿高等研究中心他最后的研讨会上，他尝试着把电磁场Fμν合并成不对称的度量gμν。他这个尝试和他先前在同一方向所做出的努力一样，都没能成功。
由于没有成功，也由于自20世纪20年代初，爱因斯坦将其注意力几乎全部放在这项研究上而忽略了像固体物理和核子物理这些新发展的领域，他经常遭受批评，甚至被嘲笑。他对于统一场论的投入被描述为着魔（obsession）。这种批评的一个例子是拉比（I.I.Rabi,1898—1988）于1979年在普林斯顿举行的爱因斯坦百年纪念上所讲的话：
当你想起爱因斯坦于1903年或1902年至1917年的工作时，那是极其多彩的，非常有创造力，非常接近物理，有非常惊人的洞察力；然而，在他不得不学习数学，特别是各种形式的微分几何的时期以后，他就改变了。
他改变了他的想法。他的那种对物理学的伟大创意也随之改变了。
拉比是否正确呢？爱因斯坦有没有改变呢？
答案是：爱因斯坦的确改变了。改变的证据可以在他1933年的斯宾塞演讲(Herbert Spencer Lecture)《关于理论物理学的方法》中找到：
……理论物理的公理基础不可能从经验中提取，而是必须自由地创造出来……经验可能提示适当的数学观念，可是它们绝对不能从经验中演绎而出……但是创造源泉属于数学。因此，在某种意义上，我认为单纯的思考可以抓住现实，正如古人梦想的一样。
虽然你可以同意或反对这些非常简要的论点，但是你必须同意它们强有力地描述了爱因斯坦在1933年关于如何做基础理论物理的想法，而且此想法相对于他早年的想法有极大的变化。
爱因斯坦自己对这一变化非常清楚。在他70岁出版的《自述》（Autobiographical Notes）里，我们看到：
……我作为一个学生并不懂得获取物理学基本原理的深奥知识的方法是与最复杂的数学方法紧密相连的。在许多年独立的科学工作以后，我才渐渐明白了这一点。
很明显，在这一段里，“独立的科学工作”指的是他于1908年至1915年期间创建广义相对论的长期奋斗。长期奋斗改变了他。是否朝更好的方向改变了呢？拉比说：不是，他的新眼光变成徒劳无益的走火入魔。我们说：他的新眼光改写了基础物理日后的发展进程。
爱因斯坦逝世几十年来，他的追求已经渗透了理论物理基础研究的灵魂，这是他的勇敢、独立、倔强和深邃眼光的永久证明。
（略有删减）
数学是发明还是发现的？
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在绝大多数人看来，数学有用那是天经地义，但很少有人思考，数学到底是人发明的，还是被人发现的？对于这个让众多学者纠结数千年之久的问题，天体物理学界一位领军人物给出答案：它既是发明的产物，也是发现的结果。
科学家能够推导出描述亚原子现象的公式，工程师可以计算出航天器的飞行轨迹，皆得益于数学的魅力。伽利略第一个站出来力挺“数学乃科学之语言”这一观点，而我们也接受了他的看法，并期望用数学的语法来解释实验结果，乃至预测新的现象。不管怎么说，数学的神通都令人瞠目。
看看苏格兰物理学家麦克斯韦（James Clerk Maxwell）那个著名的方程组吧。麦克斯韦方程组的4个方程，不仅囊括了19世纪60年代时所有已知的电磁学知识，而且还预测了无线电波的存在，此后又过了差不多20年，德国物理学家赫兹（Heinrich Hertz）才通过实验探测到电磁波。能够将如此海量的信息以极其简练、精准的方式表述出来的语言，可谓凤毛麟角。无怪乎爱因斯坦会发出这样的感叹：“数学本是人类思维的产物，与实际经验无关，缘何却能与具有物理现实性的种种客体吻合得如此完美，令人叫绝呢？”
1960年，诺贝尔奖得主、物理学家尤金·魏格纳（Eugene Wigner）以“有用得说不通”来阐述数学的伟大，而作为一位活跃的理论天体物理学家，我在工作中也感同身受。无论我是想要弄清名为Ia型超新星（Ia supernovae）的恒星爆炸产生自哪种前身天体系统，还是推测当太阳最终变成红巨星时地球的命运，我使用的工具以及所建立的模型都属于数学范畴。数学对自然界的诠释是如此不可思议，令我在整个职业生涯中为之神魂颠倒。
这道难题的核心，在于数学家、物理学家、哲学家及认知科学家多少世纪以来一直争论的一个话题：数学究竟是如爱因斯坦所坚信的那样，是人们发明出来的一套工具，还是本来就已经存在于抽象世界中，不过被人发现了而已？爱因斯坦的观点源自于所谓形式主义（Formalism）学派，许多伟大的数学家，包括大卫·希尔伯特（David Hilbert）、格奥尔格·康托尔（Georg Cantor），以及布尔巴基学派的数学家，都与爱因斯坦看法一致。但其他一些杰出精英，如戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy）、罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）以及库尔特·哥德尔（Kurt G?del），则持相反观点，他们信奉柏拉图主义（Platonism）。
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这场有关数学本性的辩论如今仍然火爆，似乎难以找到明确的答案。我认为，如果只是单纯地纠结于数学是被发明还是被发现的这个问题，或许会忽视另一个更为纠结复杂的答案：两者都起着关键作用。我推想，将这两方面因素结合起来，应该能解释数学的魅力。发明与发现并非势不两立；虽然消除它们之间的对立并不能完全解释数学的神奇效能，但鉴于这个问题实在是太深奥，即使仅仅是朝着解决问题的方向迈出一小步，也算是有所进展了。
发明与发现并重
数学“不合理”的神奇功效通过两种截然不同的方式体现出来，依我看其中一种可称为主动方式，另一种可称为被动方式。有时，科学家会针对现实世界中的现象专门打造一些方法来进行定量研究。例如，牛顿创立微积分学，就是为了了解运动与变化的规律，其方法就是把运动和变化的过程分解为一系列逐帧演化的无穷小片断。这类主动的发明，自然非常有效率，因为它们都是针对需要定向打造的。
不过，它们在某些情况下所达到的精度更让人啧啧称奇。以量子电动力学（quantum electrodynamics）这个专门为描述光与物质相互作用而建立起来的数学理论为例。当科学家运用此理论来计算电子的磁矩时，理论值与实验结果几乎完全吻合，误差仅有十亿分之几。
还有更令人惊讶的事实。有时，数学家在开创一个个完整的研究领域时，根本没想过它们会起的作用。然而过了几十年，甚至若干世纪后，物理学家才发现，正是这些数学分支能够圆满诠释他们的观测结果。这类能体现数学“被动效力”的实例不可胜数。
比如，法国数学家伽罗华（évariste Galois）在19世纪初期建立群论时，只是想要弄清高次代数方程可否用根式求解。广义地说，群是一类由特定范围的若干元素（例如整数）组成的代数结构，它们能够进行特定的代数运算（例如加法），并满足若干具体的条件（其中一个条件是存在单位元，拿整数加群来说，单位元就是0，它与任何整数相加，仍然得到这个整数本身）。
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但在20世纪的物理学中，这个相当抽象的理论竟然衍生出了最有成效的基本粒子分类方法（基本粒子是物质的最小结构单元）。20世纪60年代，物理学家默里·盖尔曼（Murray Gell-Mann）和尤瓦尔·尼曼（Yuval Ne'eman）各自证明，一个名为SU（3）的特殊的群反映了所谓强子这类亚原子粒子的某项特性，而正是群与基本粒子之间的这一联系，最终为描述原子核是如何结合的现代理论奠定了基础。
对结的研究，是数学显示被动效力的又一个精彩实例。数学上的结与日常生活中的结颇为相似，只是没有松开的端头。19世纪60年代，开尔文爵士希望用有结的以太管来描述原子。他的模型搞错了方向，跟实际情况基本挂不上钩，但数学家们仍孜孜不倦地对结继续进行了数十年的分析，只不过是把它当作一个非常深奥的纯数学问题来研究。
令人惊讶的是，后来结理论竟然为我们提供了对弦论（string theory）和圈量子引力（loop quantum gravity）的若干重要见解，它们正是我们眼下为构建一个能够使量子力学和广义相对论和谐统一的时空理论的最好尝试。英国数学家哈代（Hardy）在数论领域的发现与此也有异曲同工之妙。哈代为推动密码学研究立下了汗马功劳，尽管他本人先前曾断言，“任何人都还没有发现数论可以为打仗这回事派上什么用场”。
此外，1854年，黎曼（Bernhard Riemann）率先描述了非欧几何——这种几何具有某些奇妙特性，例如平行线可能相交。半个多世纪后，爱因斯坦正是借助于非欧几何创立了广义相对论。
一种模式浮现出来：人们对周围世界的各种元素——包括图形、线条、集合、群组等——进行抽象概括后，发明出各种数学概念，有时出于某种具体目的，有时则纯粹为了好玩。他们接下来会努力寻找这些概念之间的联系。这一发明与发现的过程是人为的，与柏拉图主义标榜的那种发现不同，因此，我们创立的数学归根结底取决于我们的知觉过程以及我们能构想出的心理场景。例如，我们人类具有所谓“感数”（subitizing）的天赋，可以一眼识别出数量，毫无疑问，这种本能催生了数字的概念。
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我们非常擅长于感知各个物体的边缘，并且善于区分直线与曲线，以及形状不同的图形，如圆和椭圆等。或许，正是这些本能促进了算术与几何学的兴起和发展。同理，人类无数次反复经历的各种因果关系，对于逻辑的创立至少也起了部分作用，并产生以下认识：根据某些陈述，我们可以推断出其他一些陈述的正确性。
选择与进化
迈克尔·阿提亚（Michael Atiyah）是20世纪最杰出的数学家之一，他曾通过一项非常巧妙的假想实验来揭示我们掌握的数学概念是如何受知觉影响的——甚至连数字这类最基本的概念也不例外。德国数学家克罗内克（Leopold Kronecker）有一句名言：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”
但我们可以想象，如果世界上有智力的不是人类，而是一种生活在太平洋底与世隔绝的奇异水母，在它们周围，从海水的流动到海水温度与压力，都是连绵不断的。在这样一个找不到什么独特个体，也就是不存在任何离散性元素的环境里，数字的概念有机会破茧而出吗？如果没有什么东西可以让你去数，那还会有数字存在吗？
同水母一样，我们也要采用能够适合于自己所在环境的数学工具——毫无疑问，数学正是因此而显得神通广大。科学家并非随心所欲地选择分析工具，而是根据它们是否能准确预测实验结果来作出选择的。当网球发球机吐球时，你可以用自然数1、2、3依次标示向外蹦出的球。不过，消防员喷水救火时，要想对水流作出有意义的描述，就得用体积或重量之类的概念了。
同样道理，各种亚原子粒子在粒子加速器中碰撞时，物理学家也是用能量及动量之类的指标，而不是用最终到底有多少粒子来评估碰撞。最终粒子数只能给出有关原始粒子碰撞过程的部分信息，因为在这一过程中可能还有其他粒子产生。只有最出色的模型才能历经时间的考验。而那些失意的模型，比如笛卡尔用宇宙物质旋涡来描述行星运动的尝试，就夭折了。反观成功的模型，则会随着新信息的出现而逐步改进。
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例如，当人们对水星这颗行星的进动获得了极其精确的测量结果后，就必须用爱因斯坦的广义相对论来彻底改造牛顿的引力理论，才能对最新测量结果作出圆满解释。任何一种行之有效的数学概念，寿命都是很长的。比如，早在公元前250年左右，阿基米德就已经证明了球体表面积的公式，而直到今天，这个公式也跟当年一样站得住脚。因此，任何时代的科学家都有一个极其庞大的数学公式宝库供其搜索，从中找出最适合的方法来使用。
科学家不仅在寻求答案，他们常常也挑选适合于用数学处理的问题。然而，有一大批现象不可能作出精确的数学预测，有时甚至原则上就是不可预测的。例如，在经济学中，许多变量——比方说民众心理素质的详细情况——不适宜作定量分析。
任何理论的预测价值，均取决于各变量之间基础关系是否恒定。我们的分析也无法彻底解读会产生混沌的系统（在这类系统中，只要初始条件有极其微小的变化，都可能导致最终结果完全不同，因而无法进行长期预测）。数学家们创立了统计学和概率论来弥补上述缺陷，但众所周知，奥地利逻辑学家库尔特·哥德尔早已证明，数学本身是存在着固有局限性的。
自然界的对称性
数学能如此成功地诠释自然法则，精心挑选问题与答案仅是原因之一。这样的法则首先必须存在，数学才有用武之地。对数学家和物理学家来说，幸运的是我们这个宇宙看起来是被一些亘古不变的自然法则所支配的。决定宇宙最初结构的引力，同样也左右着今天的星系。为了解释这种以不变应万变的现象，数学家和物理学家发明了对称性的概念。
物理学定律似乎都蕴含着相对于空间和时间的对称性。无论在何时何地，从什么角度来查看这些定律，它们都是不变的。此外，物理学定律对于所有观察者都是一视同仁的，无论这些观察者是处于静止状态，还是在做匀速运动或加速运动。
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因此，无论我们在哪里做实验，中国也好，美国也好，乃至在仙女座大星云也好，也无论我们是今天做这个实验，还是10亿年后由另外某个人来做实验，都可以用同样的物理学定律来解释实验结果。如果宇宙不具有这种对称性，那我们想要破解大自然宏伟设计的努力——也就是根据我们的观测结果建立相应的数学模型——可就要无功而返了，因为那样我们就得针对时空中的每个点，不断反复实验。
而在描述亚原子粒子的物理学定律中，则是另一类更复杂的对称性，即规范对称性占据主导地位。由于量子世界的模糊性，某一给定粒子既可以是带负电的电子，也可以是不带电的中微子，还可以是二者的叠加态，除非我们测量了电荷，明确区分出它到底是电子还是中微子。
其实，如果我们把电子换成中微子，或者换成两者的任何一个叠加态，自然界的法则依旧保持同一形式。换成其他基本粒子，情况也仍然如此。没有这种规范对称性，我们要建立一个有关宇宙基本运作原理的理论是极其困难的。
同样，没有局域性，情况也会非常棘手（所谓局域性，是指我们这个宇宙中的任何事物仅受其近邻环境的直接影响，而不受远处发生的事件的影响）。有了局域性，我们就可以首先设法解读基本粒子之间最基础的力，然后利用其他各种知识元素，像拼七巧板一样尝试拼出宇宙的数学模型来。
现今在为统一各种相互作用的尝试中，最有希望成功的一种数学理论，需要依靠另一种对称——超对称性（supersymmetry）。在由超对称性主导的宇宙里，每种已知粒子都有一个尚待发现的伙伴粒子。如果这些伙伴粒子最终被发现[当欧洲原子核研究中心（CERN）的大型强子对撞机（LHC）投入全能量运行时，它们可能会被发现]，那么这将是具有神奇效力的数学的又一项胜利。
在本文开头，我提出了两个互相关联的基本问题：数学是人们发明的还是发现的？是什么因素赋予了数学如此强大的解释能力与预测本领？我相信第一个问题已经有了答案：数学是发明与发现的精妙融合。一般说来概念是发明的产物，而即便概念之间所有正确的关系在被发现之前就已经存在，人们依然需要对研究哪些关系进行选择。
现在看来第二个问题似乎更为复杂。毫无疑问，正因我们在使用数学方法时对题材进行了精心挑选，于是数学给我们留下了非常有效这种印象。但如果本来就没有什么普遍存在的规律等着我们去发现，那数学就完全无用武之地了。现在你可以这样问：为何会存在放之四海而皆准的自然法则？或者说，为何我们的宇宙被某些对称性以及局域性所支配？说实在的，我不知道答案，我只能说，在一个不存在上述特性的宇宙中，复杂性和生命或许永远也不会出现，我们当然也就没有机会提出这些问题了。
（来源：环球科学）